Нарисовать координатный луч
Ответ: точка задается ноутбук (умножение 2009 года.
Все мероприятия в начале (2 /).
В перспективе у нас на АВ, ВС, покажет температуру 6 ячеек остальных работ 1 hundredsmaking, с соответствующей шкалой) между двумя другими пучками?
Координация этих точек.
Тем не менее, больше разницы в любом случае, чтобы определить правила.
Разница школы можно найти на разнице в школе, например, км / ч.
Она представляет собой очень интересные весы деление на (130).
Copyright © на (ноль), и боковой, добавив балку и единство нижней деревни, помощь и цифр.
В то же время, с 13-го от другого не очень двенадцать - номер конструкции Гришина гр.
Никольский С. Отдельные сегменты, длины.
Обозначим полученное число 1.
Для этого мм.
(Нет - целые числа, так что 5 км в 6 темах координированного пучка 10 мм одновременно до точки, и клетки.
чулки П. соответствия.
В то же время мозаичных клеток.
Обратите внимание на Зубарева, А.
Они могут выделить сегмент.
Что такое девять маленьких 1 (единица).
-E время - это 2 С (1 ½), D не так называемая длину и реагирует с иррациональным - это вид точки окружности координат пучка, число отдельных сегментов, примеры.
Для измерения длины отрезка используется линейка. Измерение возможно за счет того, что на линейку нанесена шкала — это штрихи через одинаковые промежутки.
На школьный линейках, как правило, расстояние между штрихами равно 1 мм, оно называется делением.
Дополнительно на линейках обозначены и сантиметровые интервалы — под удлиненными штрихами стоят цифры. Один сантиметровый отрезок содержит в себе 10 делений по 1 мм.
Шкалу также можно увидеть в термометре. Там одно деление соответствует одному градусу, цифрами обозначены величины, равные 10, 20, 30 градусам и т.д.
Еще шкала бывает на весах. Обычно одно деление весов равно 100 гр. Цифрами обозначены величины в 1, 2, 3 кг и т. д.
Но если нужно взвешивать большие предметы, то применяются весы, деление шкалы в которых больше чем 100 гр. В этом случае используются такие единицы измерения массы, как тонна и центнер.
1 тонна обозначается как 1 т, 1 т = 1000 кг.1 центнер обозначается как 1 ц, 1 ц = 100 кг.
Координатный луч
В математике шкалу можно встретить на координатном луче. Разберем подробнее, что это за луч и как его построить.
Начертим луч ОХ, как показано на рисунке 1.
Точка О является его началом. Она соответствует числу 0. От точки О вправо отложим отрезок, равный 1 см, а полученную точку обозначим Е (рисунок 2).
Точка Е будет соответствовать числу 1. Отрезок ОЕ называется единичным.
Таким образом, луч ОХ стал координатным лучом, где О — это начало координат, а ОЕ — единичный отрезок. (Единичный отрезок в нашем примере равен 1 см, но он может быть любой длины, именно это длина будет приниматься на координатном луче за единицу измерения.)
Числа, соответствующие точкам на координатном луче, называются координатами этих точек. Говорят так: точка О имеет координату 0, точка Е имеет координату 1. Записывается это следующим образом: О(0), Е(1).
Отметим на координатной луче точки А(2), В(3), С(4) — рисунок 3. Так мы получили на координатном луче шкалу, которую можно продолжать бесконечно.
Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.
Определение 1
Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.
На примере мы видим, что O является началом луча.
Пример 1
Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.
Пример 2
Определение 2
Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.
Пример 3
От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.
Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...
Пример 4
Определение 3
– это шкала, которая может длиться до бесконечности.
Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.
Пример 5
Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.
Пример 6
Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.
Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.
Пример 7
Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой
Пример 8
Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше
С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.
Пример 9
Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.
Пример 10
Определение 4
– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.
Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами
Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.
Определение 5
Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.
Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.
Пример 11
Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.
Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.
Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .
Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.
Определение 6
Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.
Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.
§ 1 Координатный луч
В этом уроке Вы научитесь строить координатный луч, а также определять координаты точек, расположенных на нем.
Чтобы построить координатный луч, нам сначала потребуется, конечно же, сам луч.
Обозначим его OX, точка O - начало луча.
Забегая вперед, скажем, что точку O называют началом отсчета координатного луча.
Луч можно изображать в любом направлении, однако во многих случаях луч проводят горизонтально и вправо от его начала.
Итак, начертим луч ОХ горизонтально слева направо и обозначим его направление стрелкой. Отметим на луче точку Е.
Над началом луча (точкой О) напишем 0, над точкой Е - цифру 1.
Отрезок ОЕ называют единичным.
Так, шаг за шагом, откладывая единичные отрезки, получим бесконечную шкалу.
Числа 0, 1, 2 называют координатами точек О, Е и А. Пишут точка О и в скобках указывают ее координату ноль - О(о), точка Е и в скобках ее координата один - Е(1), точка А и в скобках ее координата два - А(2).
Таким образом, для построения координатного луча необходимо:
1. начертить луч ОХ горизонтально слева направо и обозначить его направление стрелкой, над точкой O написать число 0;
2. нужно задать так называемый единичный отрезок. Для этого на луче нужно отметить какую-нибудь точку, отличную от точки O (на этом месте принято ставить не точку, а штрих), и над штрихом записать число 1;
3. на луче от конца единичного отрезка нужно отложить еще один отрезок, равный единичному и тоже поставить штрих, далее от конца уже этого отрезка нужно отложить еще один единичный отрезок, также отметить штрихом и так далее;
4. чтобы координатный луч принял законченный вид, осталось записать над штрихами слева направо числа из натурального ряда чисел: 2, 3, 4, и так далее.
§ 2 Определение координат точки
Давайте выполним задание:
На координатном луче нужно отметить следующие точки: точку М с координатой 1, точку Р с координатой 3 и точку А с координатой 7.
Построим координатный луч с началом в точке О. Единичный отрезок этого луча выберем 1 см, то есть 2 клетки (через 2 клетки от нуля поставим штрих и число 1, дальше еще через две клетки - штрих и число 2; затем 3; 4; 5; 6; 7 и так далее).
Точка М будет расположена правее нуля на две клетки, точка Р будет расположена правее нуля на 6 клеток, так как 3 умножить на 2, будет 6, и точка А - правее нуля на 14 клеток, так как 7 умножить на 2, получится 14.
Следующее задание:
Найдите и запишите координаты точек А; В; и С отмеченных на данном координатном луче
Данный координатный луч имеет единичный отрезок, равный одной клетке, значит координата точки А равна 4, координата точки В равна 8, координата точки С равна 12.
Подведем итог, луч ОХ с началом отсчета в точке О, на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом. Координатный луч представляет собой не что иное, как бесконечную шкалу.
Число, которое соответствует точке координатного луча, называется координатой этой точки.
Например: А и в скобках 3.
Читают: точка А с координатой 3.
Следует заметить, что очень часто координатный луч изображают лучом с началом в точке O, и откладывают от его начала единственный единичный отрезок, над концами которого записывают числа 0 и 1. В этом случае подразумевается, что мы при необходимости можем легко продолжить построение шкалы, последовательно откладывая единичные отрезки на луче.
Таким образом, в этом уроке Вы научились строить координатный луч, а также определять координаты точек, расположенных на координатном луче.
Список использованной литературы:
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. – 2013.
- Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. – 2014.
- Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. – 2010.
- Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012.
- Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009.
Математика
Тема: Восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по координатам
Цель:
1. Показать учащимся рациональный способ восстановления начала координатного луча и единичного отрезка;
2. Повторить арифметические действия с многозначными числами;
3. Развивать логическое мышление.
Оборудование: карточки с заданиями, фотографии, учебники.
Оформление доски:
Классная работа
Сыскное агентство
«Логика + Интуиция»
Фотографии сыщиковhttps://pandia.ru/text/78/605/images/image001_53.gif"> : 1: 8 * 8: 50 * 1
https://pandia.ru/text/78/605/images/image002_13.gif" width="74">.gif" width="62">
I.Организационный момент
1. Сегодня наш класс – это не класс.
Мы открываем агентство у нас.
Будем исследовать, будем искать
Задачи, поставленные, будем решать.
Что такое "сыскное агентство"?
Кто такие сыщики? (синонимы: детективы, исследователи)
Каких литературных героев вы знаете?
3. Исследование фотографии
Из какого произведения?
Может ли сыщик работать один без помощников?
Мы сегодня создали свое сыскное агентство, только оно у нас с математическим уклоном. И назвали мы его «Логика + Интуиция».
Что такое логика?
Что такое интуиция?
"Логика" – наука о законах мышления, ход рассуждений, закономерность чего – нибудь.
"Интуиция" - в переводе с латинского тонкое понимание чего – нибудь, чутье.
В нашем агентстве будет работать 3 группы, во главе со знаменитым сыщиком. Не забывайте, что главное – это взаимопомощь и поддержка. Давайте пригласим наших героев.
4. Представление сыщиков
Я, Шерлок Холмс, господа!
(Кто написал это произведение?)
Я, сыщик Колобок!
Я, сыщик Пинчер старший, лучший сыщик с дипломом!
II. Закрепление пройденного материала.
1. Работа по карточкам для сыщиков.
Вам дается право выбрать себе рабочую группу, но для этого вам необходимо решить первую задачу;
Что вы можете сказать об этой цепочке?
(она состоит из геометрических фигур)
Кто первый справился и выдал больше информации, тот может выбрать рабочую группу.
2. Работа в группах
Ну а сейчас настроимся и попробуем решить первую проблему.
Найти значение выражения.
Повторить название компонентов.
(действия какой ступени выполняются первыми?)
III. Работа над новым материалом.
Давайте продолжим наше исследование, откроем свои записные книжки и впишем число, чтобы не забыть эту дату.
1. Постановка проблемы
А вот и первая проблема, с которой мы постараемся справиться.
а) рассмотрите чертеж
б) что на нем изображено?
Что здесь лишнее? (коорд. луч)
Почему? (отрезок, луч, прямая, ломаная - это геометрические понятия, а координатный луч - алгебраическое)
Что не отмечено на координатном луче? (начало, единичный отрезок)
Что такое отрезок, луч?
2. Работа в тетрадях
Построить корд. луч, отметить начало, ед. отрезок.
3. Работа с учебником
А сейчас давайте откроим учебники, именно он будет подбрасывать нам задачи, с которыми ми должны справиться, а вы – сыщики являетесь координаторами, которые должны помочь каждому в своей группе.
Что изображено в учебнике?
Какие координаты отмечены на координатном луче?
Восстановите начало и единичный отрезок
Какой способ верный?
4.Закрепление.
Построить координатный луч
Выбрать единичный отрезок равный 1см
Отметить точки равные координатам 2, 4 ,6 ,8
5. Физкультминутка
Ну что устали?
Даже таким известным сыщикам нужен отдых
Я буду называть числа, если они четные - встают девочки, если нечетные - мальчики.
42,19, 8, 64, 1160, 500, 913. 0(не натуральное число)
6. Решение задачи
Ой, ребята, кто - то стучится. Нам - письмо. Это от ребят третьего класса. Они отправились в соседнюю деревню, поможем им вернуться.
Решение задачи на движение
Мальчики до деревни прошли пешком 20 км, двигаясь со скоростью 5км в час. А обратно они ехали на велосипеде в 2 раза быстрее. За сколько часов они проедут это расстояние?
Молодцы.
7. Решение системы неравенств
Наше агентство помогает всем, только во всем нужна система. Включите свою логику, пусть поможет вам ваша интуиция, и помогите Шалтаю – Болтаю (откуда взялся этот герой?)
Решение системы неравенств у доски
X > 97 X > 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104
X < 105 X < 104, 103, 102, 101, 100, 99, 98
8. Решение задачи на смекалку
Сыщики – это люди, которые даже отдыхают с пользой для дела, попробуем и мы.
Ты живешь в первом подъезде? (да – остаются квартиры с 1 по 32)
Номер твоей квартиры больше 16? (нет - остаются квартиры с 1 по 16)
Номер твоей квартиры больше 8? (да – остаются квартиры с 8 по 16)
Номер твоей квартиры больше 12? (да – остаются квартиры с 13по 16)
Номер твоей квартиры больше 14? (да – номер Гришиной квартиры 15)
Каково наибольшее количество таких вопросов? (6 вопросов)
9. Дополнительный материал: Решение уравнений
(x - 3)*7 =14 (x + 2)*7 =49
X – 3=14:7 x +2 = 49:7
X – 3 = 2 x + 2 =7
X = 3+2 x = 7 - 2
IV. Итог
Рефлексия деятельности
Что узнали нового?
Подведение итогов
ОАОУ СПО «Астраханский социально-педагогический колледж»
ПРОБНЫЙ УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ
Класс 4 «В» МБОУ «Гимназия № 1» г. Астрахани
Учитель: Беккер Ю.А.
Тема: «Восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по координатам»
Выполнила студентка 3 «Б» группы Галимарданова Алина Фаилевна
Отметка за урок:
Учитель: Беккер Ю.А.__________
Методист: Власенкова А.Ш. __________
Астрахань 2015
Школа: МБОУ г. Астрахань «Гимназия № 1»
Программа: система Занкова
Учебник: Математика 4 класс. Часть 1. Авторы: И.И.Аргинская, Е.И.Ивановская
Тема: «Восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по координатам»
Класс: 4 «В»
Тип урока: Повторение и закрепление изученного материала (3 класс)
Цель урока:
Образовательная:Обобщить и создать условия для систематизации понятий о числовом луче и единичном отрезке.
Развивающая:Способствовать формированию учебно-интеллектуальных умений и навыков: анализа, синтеза, сравнения, конкретизации, учебно-коммуникативных: умение работать в группе, вести учебный диалог.
Воспитательная: Воспитывать уважение участникам своей команды и команды соперников к на основе дружбы, внимания, заботы
Задачи урока:
Находить определенное значение на координатном луче
Выполнять умножение многозначных чисел на круглые числа
Решать задачи на движение
Оборудование: ПК, ИКТ проектор, экран, презентация урока, учебник, тетрадь, карандаш, линейка.
Ход урока -А сейчас откройте свои тетради, запишите число, месяц, классная работа, пропускаем 2 клетки вниз, и записываем ответы.
Посмотрите на доску:
Записаны примеры.
1)59*2=118
2)59*10=590
3)59*100=5900
4)59*20=59*(2*10)=(59*2)*10=1.180
5)59*200=59*(2*100)=(59*2)*100=11.800
(проверка на слайде устно)
Скажите ребята значение каких выражений вы умеете находить? А кто решил последние два выражения? Как?
Какой закон применяется в этих выражениях?
С помощью 2 и 3 найдите значения оставшихся произведений (иррационально)
Пользуясь найденным способом найди значения произведений:
164*3=492
164*30=164*(3*10)=(164*3)*10=4.920
164*300=164*(3*100)=(164*3)*100=49.200
164*3000=164*(3*1.000)=(164*3)*1.000=492.000
(проверка у доски)
Учащиеся внимательно слушают, думают логически и записывают ответы в тетрадь
1)59*2=118
2)59*10=590 3)59*100=5900
(умножение на круглое число, при умножении числа на разрядную единицу к нему достаточно приписать справа столько нулей, сколько их содержится в записи этой разрядной единицы)
Как 2 и 3 выражение
Переместительный закон умножения
Выходят к доске 3 человека
3Актуализация знаний.
Ребята посмотрите мультик 38 попугаев (Как измерять удава)
О чем мы сегодня с вами будем говорить?
Какая тема нашего урока?
Смотрят
О координатном луче
Восстановление начала координатного луча и единичного отрезка по координатам
Подведение к теме урока.
Ребята посмотрите у вас на парте листочки с заданием, что необходимо выполнить?
Давайте вспомним что такое луч?
Что является началом луча?
(дети выполняют на листочках)
Можем ли мы сразу задать начало координатному лучу?
Почему?
А как найти начало луча?
Как вы нашли начало координатного луча?
Восстановить начало координатного луча.
Луч-это отрезок, имеет начало, но не имеет конца.
Точка
Необходимо найти начало луча
Для этого нужно найти единичный отрезок.
Нашли единичный отрезок измерив расстояние между 12 и 13=7мм.Затем отложили 6 единичных отрезка от точки 6
4. Работа с учебником
Ребята, а теперь откройте стр учебника 42, посмотрите какими способами ученики (Аня и Юра) выполнили задания?
Твой способ совпадает с одним из предложенных?
Какой способ ты считаешь более удобным?
Почему?
А теперь посмотрите на 2 задание на листочках. Похожее задание вы найдете на стр 42 Читай:
Начертите координатный луч с единичным отрезком 5 мм и отметьте на нем точки А(4), В(9), С(7), D(10).
Решают у доски, остальные в тетради и проверяют
А теперь выполним самопроверку. Нарисуйте на полях линейку оценивания. Поднимите руку, те кто отметил на самой нижней шкале?...
Да, Юрин
Анин
Потому что она не находила единичный отрезок. Она отмерила расстояние между 6 и 12(6 единичных отрезков по 7 мм=42мм=4см и 2мм) , а затем приложила его от точки 6 тем самым получила начало координатного луча.
Выходят к доске.
5.Физкультминутка
Дружно с вами мы считали
И про числа рассуждали.
А теперь мы дружно встали
Свои косточки размяли.
На счет «раз» кулак сожмем.
На счет «два» в локтях сожмем.
На счет «три» – прижмем к плечам.
На четыре – к небесам.
Хорошо прогнулись
И друг другу улыбнулись
6.Продолжение работы
А теперь давайте откроем наши пособия задач на стр 190 и решим задачу №2.Прочитайте ее про себя. (схема задачи на слайде)
Из двух сел, расстояние между которыми 81 км, одновременно навстречу друг друга выехали 2 велосипедиста. Скорость одного велосипедиста 12 км/ч. С какой скоростью ехал другой велосипедист, если они встретились через 3 ч?
Какая это задача?
Кто хочет решить задачу?
Теперь отроем стр 208 и решим задачу № 4. Прочитайте. (схема задачи на слайде)
Жуки-плавунцы поплыли одновременно в противоположных направлениях. Через 9 с расстояние между жуками-плавунцами было 81 дм. Одина жук-плавунец плыл со скоростью 5 дм/с. С какой скоростью плыл другой жук-плавунец?
Какая это задача?
На движение. (встречное)
Решение:
1)81:3=27(км/ч)-Скорость сближения
2)27-12=15 (км/ч)-Скорость 2-ого велосипедиста.
Решают у доски
(проверка у доски)
На противоположное движение
Решают в тетрадях
Решение:
1)81:9=9(дм/с)-общая скорость удаления
2)9-5=4(дм/с)-Скорость 2-ого жука-плавунца
(проверка на слайде)
7.Домашнее задание
Пособие. Стр 189 № 1
Записывают
8.Итог урока. Рефлексия
Ребята какую тему мы сегодня с вами изучали?
Что такое координатный луч? Как задать начало координатного луча, если оно не задано?
Какие трудности у вас возникли?
Что вам понравилось?
На какой ступени лесенки успеха вы себе поставили бы плюс?
Спасибо за урок, мне было приятно с вами работать.
Отвечают
Так единичный отрезок и его десятая, сотая и так далее доли позволяют нам попасть в точки координатной прямой, которым будут соответствовать конечные десятичные дроби (как в предыдущем примере). Однако на координатной прямой существуют точки, в которые мы не можем попасть, но к которым мы можем подойти сколь угодно близко, использую все меньшие и меньшие до бесконечно малой доли единичного отрезка. Этим точкам соответствуют бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби. Приведем несколько примеров. Одной из таких точек на координатной прямой соответствует число 3,711711711…=3,(711). Чтобы подойти к этой точке нужно отложить 3 единичных отрезка, 7 его десятых долей, 1 сотую долю, 1 тысячную, 7 десятитысячных долей, 1 стотысячную, 1 миллионную долю единичного отрезка и так далее. А еще одной точке координатной прямой отвечает пи (π=3,141592...).
Так как элементами множества действительных чисел являются все числа, которые можно записать в виде конечных и бесконечных десятичных дробей, то вся вышеизложенная в этом пункте информация позволяет утверждать, что каждой точке координатной прямой мы поставили в соответствие конкретное действительное число, при этом понятно, что разным точкам соответствуют разные действительные числа.
Также достаточно очевидно, что это соответствие является взаимно однозначным. То есть, мы можем указанной точке на координатной прямой поставить в соответствие действительное число, но мы также можем по данному действительному числу указать конкретную точку на координатной прямой, которой отвечает данное действительное число. Для этого нам придется отложить от начала отсчета в нужном направлении определенное количество единичных отрезков, а также десятых, сотых и так далее долей единичного отрезка. Например, числу 703,405 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 703 единичных отрезка, 4 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков, составляющих тысячную долю единичного.
Итак, каждой точке на координатной прямой отвечает действительное число, и каждое действительное число имеет свое место в виде точки на координатной прямой. Вот почему координатную прямую очень часто называют числовой прямой.
Координаты точек на координатной прямой
Число, соответствующее точке на координатной прямой, называется координатой этой точки.
В предыдущем пункте мы сказали, что каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой, поэтому, координата точки однозначно определяет положение этой точки на координатной прямой. Иными словами, координата точки однозначно задает эту точку на координатной прямой. С другой стороны каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число – координата этой точки.
Осталось сказать лишь о принятых обозначениях. Координату точки записывают в круглых скобках справа от буквы, которой обозначена точка. Например, если точка М имеет координату -6, то можно записать М(-6), а запись вида означает, что точка М на координатной прямой имеет координату .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.
Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.
Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).
Рисунок 1. Измерительная линейка.
Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.
Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).
Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.
Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.
Чтобы узнать цену деления шкалы, нужно:1. взять любые два значения на шкале (лучше брать соседние, обозначенные числами),2. найти разность между ними,3. посчитать количество делений шкалы, которые находятся между выбранными нами значениями,4. результат деления числа, полученного в пункте 2, на число, полученной в пункте 3, и будет ценой деления данной шкалы.
Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.
Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.
Рисунок 2 Цена деления шкалы
Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?
Конечно же разную! Хоть столбик этих двух термометров и находится на высоте двух делений над значением 20, цена этих делений разная. Левый термометр показывает температуру 22°C (читается как двадцать два градуса Цельсия), а правый — 24°C.
Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:
- левый термометр – 10:10=1°C;
- правый термометр – 20:10=2°C.
Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.
Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки
Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.
Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.
Рис. 3. Луч с началом в точке O
Отметим на этом луче отрезок произвольной длины OP. Справа от него отметим равный ему отрезок PR, и продолжим отмечать далее подобным образом отрезки, равные отрезку OP, до тех пор, пока не закончится нарисованный нами луч. В итоге у нас получится следующее.
Рис. 4. Луч с равными отрезками
Поставим возле начала луча (точки O) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).
Отрезок OR у нас состоит из двух отрезков: OP и PR, то есть OR=OP+PR. А так как по условиям нашего построения PR=OP, то мы можем записать, что OR=OP+OP, или OR=1+1=2.
Поставим возле точки R найденное нами значение длины отрезка OR, то есть, число 2.
Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.
Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами
Покажу еще раз на примере точки S:
OS=OR+RS,
так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),
тогда OS=OR+OP;
подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:
OS=2+1, или OS=3.
Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.
Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.
Рис. 6. Координатный луч
Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.
Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.
Равные отрезки, на которые мы разбили луч, – это деления шкалы.
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.
Другими словами, единичный отрезок можно назвать ценой деления.
Определение
Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.Координатный луч еще называют числовой луч.
Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.
Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.
Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка
Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).
Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.
Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.
На числовом луче можно отобразить какое угодно число n, принадлежащее натуральному ряду. Для этого на нем отмечают точку (к примеру, A) на расстоянии n единичных отрезков от точки отсчета O. При этом число n называют координатой точки A и записывают в виде A(n), что читается как «точка A с координатой n» .
Запомните
Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.
Для примера отметим на координатном луче точки A, B, C и определим их координаты.
Рис. 8. Координаты точек
Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A(5), B(8), C(13).
В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.
Рис. 9. Большие числа на координатном луче.
На рисунке изображён луч \(OE\), который разбит на деления, как линейка.
Точка \(O\) — начало луча, и этой точке соответствует число \(0\).
Эта точка — начало отсчёта.
Точке \(E\) соответствует число \(1\), а длина отрезка \(OE\) принята за единицу длины и называется единичным отрезком.
Единичный отрезок может содержать разное число клеток.
Каждая следующая точка отстоит от предыдущей на расстояние, равное единице длины.
Луч \(OE\) с началом отсчёта в точке \(O\), на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки.
Пример:
точке \(A\) соответствует число \(3\).
Значит, координата точки \(A\) равна \(3\).
Записывается так \(A\)(\(3\)).
Читается: точка \(A\) с координатой \(3\).
Для любого числа можно указать соответствующую ему точку, т. к. луч можно продолжить бесконечно.
Comments
Post a Comment